Question

13．求由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1所围图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋转体的体积．

Answer 1

分析 利用积分的知识计算即可．

解答 解：绕x轴旋转所成的旋转体的体积为：
V_x=${∫}_{-a}^{a}π{y}^{2}dx$
=${∫}_{-a}^{a}π{b}^{2}（1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}）dx$
=${∫}_{-a}^{a}π{b}^{2}d（x-\frac{{x}^{3}}{3{a}^{2}}）$
=$π{b}^{2}[（a-\frac{a}{3}）-（-a+\frac{a}{3}）]$
=$\frac{4πa{b}^{2}}{3}$；
绕y轴旋转所成的旋转体的体积为：
V_y=${∫}_{-b}^{b}π{x}^{2}dy$
=${∫}_{-b}^{b}π{a}^{2}（1-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}）dy$
=${∫}_{-b}^{b}π{a}^{2}d（y-\frac{{y}^{3}}{3{b}^{2}}）$
=$π{a}^{2}[（b-\frac{b}{3}）-（-b+\frac{b}{3}）]$
=$\frac{4π{a}^{2}b}{3}$．

点评 本题考查旋转体的体积，注意解题方法的积累，属于中档题．