Question

3．在△ABC中，∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，则|$\overrightarrow{BC}$|的最小值是 （　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{AC}$|=b，|$\overrightarrow{BC}$|=a，则根据数量积的定义算出|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=2，即bc=4．由余弦定理得a²=b²+c²+bc，结合基本不等式b²+c²≥2bc，可得a的最小值．

解答 解：∵∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos120°=-2，解之得|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=4．
设|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{AC}$|=b，|$\overrightarrow{BC}$|=a，则bc=4
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos120°=b²+c²+bc
∵b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时取得最小值．
∴a²=b²+c²+bc≥3bc=12，可得a的最小值为2$\sqrt{3}$
即|$\overrightarrow{BC}$|的最小值为$2\sqrt{3}$
故选：C．

点评 本题给出△ABC两边b、c的夹角，且在已知 $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2的情况下求边a的最小值，着重考查了向量数量积的公式、余弦定理和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．