Question

15．如图，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD=2AD，E为AB中点，现将△ADE折起，使平面A₁DE⊥平面BCDE，P是DE中点，Q是A₁B的中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取A₁C的中点R，连接QR，DR，证明四边形PDQR是平行四边形，所以PQ∥DR，即可证明PQ∥平面A₁CD；
（Ⅱ）连接A₁P，BP，设M是PB的中点，连接QM，过M作MH⊥PC，连接QH，则∠QHM是二面角B-PC-Q的平面角，即可求二面角B-PC-Q的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取A₁C的中点R，连接QR，DR．
由题意知PD∥BC且PD=$\frac{1}{2}$BC，QR∥BC且QR=$\frac{1}{2}$BC，
所以PD∥QR且PD=QR，即四边形PDQR是平行四边形，所以PQ∥DR．
又PQ?平面A₁CD，DR?平面A₁CD，所以PQ∥平面A₁CD．…（5分）
（Ⅱ）解：连接A₁P，BP，设M是PB的中点，连接QM．
因为A₁P⊥DE，平面A₁DE⊥平面BCD
所以A₁P⊥平面BCDE
又QM∥A₁P，所以QM⊥平面BCDE，过M作MH⊥PC，连接QH，
则∠QHM是二面角B-PC-Q的平面角，…（10分）
设CD=a，则A₁P=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，所以QM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
在四边形DECB中，因为BC⊥CP，所以HM∥CB，
又M是PB中点，所以HM=$\frac{a}{2}$
所以HQ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$a，所以cos∠QHM=$\frac{HR}{HQ}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
所以二面角B-PC-Q的平面角的余弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$． …（15分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定，平面与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．