Question

10．设函数f（x）=3x²-2mx-1．
（1）如果不等式f（x）≥|x|-$\frac{7}{4}$对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）定义g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|，x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}\right.$，求函数g（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得3x²-|x|+$\frac{3}{4}$≥2mx恒成立，再分x=0、x＞0、x＜0三种情况，利用基本不等式求得m的范围．
（2）分类讨论，分别求得每一段的值域，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）由f（x）=3x²-2mx-1，f（x）≥|x|-$\frac{7}{4}$对一切实数x恒成立，
可得3x²-|x|+$\frac{3}{4}$≥2mx恒成立①．
当x=0时，显然①成立；
当x＞0时，①即m≤$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{8x}$-$\frac{1}{2}$，利用基本不等式求得$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{8x}$-$\frac{1}{2}$≥2×$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$=1，∴m≤1．
当x＜0时，①即 即m≥$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{8x}$+$\frac{1}{2}$，利用基本不等式求得-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{8x}$≥2×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{8x}$+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=-1，∴m≥-1．
综上可得，-1≤m≤1．
（2）定义g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|，x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}\right.$，即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{3x}^{2}-2mx-1|，x≥0}\\{{3x}^{2}-2mx-1，x＜0}\end{array}\right.$，f（-1）=2+2m．
在区间[-1，0）上，
当对称轴x=$\frac{m}{3}$＜-1，即m＜-3时，在第二段函数中，f（x）单调递增，
f（x）的最小值为f（-1）=2+2m，f（x）的最大值趋于f（0）=-1，故函数的值域为[2+2m，-1）．
当-1≤$\frac{m}{3}$＜-$\frac{1}{2}$，即m∈[-3，-$\frac{3}{2}$]时，f（x）的最小值为f（$\frac{m}{3}$）=-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，最大值为-1，
函数的值域为[-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，-1]．
当-$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{3}$＜0，即m∈[-$\frac{3}{2}$，0）时，f（x）的最小值为f（$\frac{m}{3}$）=-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，最大值为f（-1）=2+2m，
故函数g（x）的值域为[-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，2m+2]．
当m≥0时，f（x）的图象的对称轴为x=$\frac{m}{3}$＞0，在区间[0，1]上，
第一段函数中，g（x）=|f（x）|（ x≥0），g（0）=1，g（1）=|2m-2|，
当$\frac{m}{3}$＞1，即m＞3时，g（x）的最大值为g（1）=2m-2，最小值为g（0）=1，函数的值域为[1，2m-2]．
当$\frac{1}{2}$＜$\frac{m}{3}$≤1，即m∈（$\frac{3}{2}$，3]时，g（x）的最大值为g（$\frac{m}{3}$）=|-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$|=1+$\frac{{m}^{2}}{3}$，最小值为g（0）=1，
函数的值域为[1，1+$\frac{{m}^{2}}{3}$]．
当0≤$\frac{m}{3}$≤$\frac{1}{2}$，即m∈[0，$\frac{3}{2}$]时，g（x）的最大值为|f（$\frac{m}{3}$）|=1+$\frac{{m}^{2}}{3}$，最小值为g（1）=2-2m，
函数的值域为[2-2m，1+$\frac{{m}^{2}}{3}$]．
综上，g（x）在[-1，1]上的值域：①当m＜-3时，值域为[2+2m，-1]；
②当m∈[-3，-$\frac{3}{2}$]时，值域为[-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，-1]；
③当m∈[-$\frac{3}{2}$，0]时，值域为[-1-$\frac{{m}^{2}}{3}$，2m+2]；
④当m∈[0，$\frac{3}{2}$]时，[2-2m，1+$\frac{{m}^{2}}{3}$]；
⑤当m∈（$\frac{3}{2}$，3]时，函数的值域为[-1，1+$\frac{{m}^{2}}{3}$]．
⑥当m＞3时，函数的值域为[1，2m-2]．

点评 本题主要考查二次函数的性质，基本不等式，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．