Question

20．设函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ） 求f（x）的极值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）-2f（$\frac{a+b}{2}$）＜（b-a）ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对函数求导，然后令导数为零，再判断导数为零的点左右两侧的导数符号，确定极大值或极小值；
（Ⅱ）这是一个不等式恒成立问题，所以可将问题转化为函数的最值问题求解；
（Ⅲ）证明此类不等式问题，可以根据要证的式子特点构造函数，然后利用函数的单调性、最值解决问题．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=1+lnx，（x＞0）．
令f'（x）=0，解得：$x=\frac{1}{e}$，且当$x∈（0，\frac{1}{e}）$时，f'（x）＜0，$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$时，f'（x）＞0，
因此：f（x）的极小值为$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1），
令h（x）=（x+1）ln（x+1）-mx，则h'（x）=ln（x+1）+1-m，
注意到：h（0）=0，若要h（x）≥0，必须要求h'（0）≥0，即1-m≥0，亦即m≤1；
另一方面：当m≤1时，h'（x）=ln（x+1）+1-m≥0恒成立；
故实数m的取值范围为：m≤1；
（Ⅲ）构造函数$F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}$，x＞a$F'（x）=1+lnx-ln\frac{a+x}{2}-1=ln\frac{2x}{a+x}$，
又∵x＞a，∴0＜a+x＜2x，F'（x）＞0，F（x）在（a，+∞）上是单调递增的；
故F（b）＞F（a）=0，即：$f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＞0$．
另一方面，构造函数$G（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}-（x-a）ln2$$G'（x）=ln\frac{2x}{a+x}-ln2=ln\frac{x}{a+x}＜0$，G（x）在（a，+∞）上是单调递减的，
故G（b）＜G（a）=0即：$f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$，
综上，$0＜f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$．

点评 本题考查了导数在研究函数的单调性、极值、最值问题中的应用，要注意恒成立问题转化为函数最值问题来解的典范思路，注意体会和总结．