Question

11．在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的点，且满足∠ACD=45°，∠BCD=45°，设AC=x，BC=y，DC=$\sqrt{2}$，则x，y满足的相等关系式是x+y=xy（x＞1，y＞1），△ABC面积的最小值是2．

Answer 1

分析 由D点向AC，BC作垂线，垂足分别为E，F，可求EC=ED=CF=FD=1，由$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$即可解得x，y满足的相等关系式，由三角形面积公式及基本不等式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}（x+y）$≥$\sqrt{xy}$，即可解得△ABC面积的最小值．

解答 解：由题意，由D点向AC，BC作垂线  垂足分别为E，F，
∵∠ACD=45°，∠BCD=45°，
∴EC=ED=CF=FD=1，
∴由$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$得到$\frac{1}{y}=\frac{x-1}{x}$，整理可得：x+y=xy（x＞1，y＞1）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}（x+y）$≥$\sqrt{xy}$，整理可得：xy≥4．
故解得△ABC面积的最小值是2．
故答案为：x+y=xy（x＞1，y＞1），2．

点评 本题主要考查了勾股定理，基本不等式的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．