Question

15．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点作倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点．
（1）若$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，求λ．
（2）设AB的中垂线与椭圆交于C，D两点，问A，B，C，D四点是否共圆，若共圆，则求出该圆的方程；若不共圆，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得直线AB：y=x+c，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c，a²=2b²．因此椭圆C的方程即为x²+2y²=2b²．与直线方程联立可化为3x²+4bx=0，解得A，B，利用$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，即可解得λ．
（2）设线段AB的中点为M，则M$（-\frac{2b}{3}，\frac{1}{3}b）$，可得直线CD的方程为$y=-x-\frac{1}{3}b$．设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），线段CD的中点N（m，n），与椭圆方程联立可化为27x²+12bx-16b²=0，利用根与系数的关系与中点坐标公式N$（-\frac{2b}{9}，-\frac{b}{9}）$．再利用两点之间的距离公式只要证明：|CD|²=4|NA|²，即可．

解答 解：（1）由已知可得直线AB：y=x+c，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²=c²+b²，∴b=c，a²=2b²．
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的方程即为x²+2y²=2b²．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{b}^{2}}\\{y=x+c}\end{array}\right.$．
化为3x²+4bx=0，
解得x=0，$-\frac{4b}{3}$．
不妨取A（0，b），B$（-\frac{4b}{3}，-\frac{1}{3}b）$，
∵$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，
∴0+b=λ$（-\frac{4b}{3}+b）$，解得λ=-3．
（2）设线段AB的中点为M，则M$（-\frac{2b}{3}，\frac{1}{3}b）$，
则直线CD的方程为$y-\frac{1}{3}b=-（x+\frac{2b}{3}）$，即$y=-x-\frac{1}{3}b$．
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），线段CD的中点N（m，n），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-\frac{1}{3}b}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，化为27x²+12bx-16b²=0，
∴x₃+x₄=-$\frac{12b}{27}$=-$\frac{4b}{9}$，x₃x₄=$\frac{-16{b}^{2}}{27}$．
∴$m=\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=-$\frac{2b}{9}$，
n=-$（-\frac{2b}{9}）$-$\frac{1}{3}b$=-$\frac{b}{9}$，∴N$（-\frac{2b}{9}，-\frac{b}{9}）$．
|CD|²=2$[（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}]$=$\frac{416{b}^{2}}{81}$．
|NA|²=$（\frac{2b}{9}）^{2}+（\frac{10b}{9}）^{2}$=$\frac{104{b}^{2}}{81}$，
∴|CD|²=4|NA|²，
∴|NA|=$\frac{1}{2}$|CD|，
因此A，B，C，D四点共圆，
该圆的方程为$（x+\frac{2b}{9}）^{2}+（y+\frac{b}{9}）^{2}$=$\frac{104{b}^{2}}{81}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．