Question

7．已知函数f（x）=sin²（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）求f（$\frac{π}{3}$-x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式化简函数的表达式，然后求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）化简$f（\frac{π}{3}-x）$为正弦函数类型，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递减区间．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）因为 $f（x）=\frac{{1-cos2（x+\frac{π}{4}）}}{2}$…（2分）
=$\frac{1+sin2x}{2}$．
所以 $T=\frac{2π}{2}=π$．…（4分）
令$2x=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，得：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈Z）$．…（6分）
所以 f（x）的最小正周期为π，对称轴的方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈Z）$．
（Ⅱ）$f（\frac{π}{3}-x）=\frac{{sin2（\frac{π}{3}-x）+1}}{2}$=$-\frac{1}{2}sin（2x-\frac{2π}{3}）+\frac{1}{2}$．…（9分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{2π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
得：$kπ+\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{7π}{12}（k∈Z）$．
所以 $f（\frac{π}{3}-x）$的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]（k∈Z）$．…（13分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，函数的周期以及函数的单调性的应用，考查计算能力．