Question

19．设坐标原点为O，已知过点（0，$\frac{1}{2}$）的直线交函数y=$\frac{1}{2}$x²的图象于A、B两点，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 设出直线的点斜式方程，直线方程和函数$y=\frac{1}{2}{x}^{2}$联立消去y会得到关于x的方程，用求根公式求出该方程的解，从而得出A，B两点的坐标，进而得到向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐标，进行数量积的坐标运算即可．

解答 解：设过点（0，$\frac{1}{2}$）直线的斜率为k，则方程为：$y=kx+\frac{1}{2}$；
如图，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得：x²-2kx-1=0；
解得$x=k-\sqrt{{k}^{2}+1}$，或$k+\sqrt{{k}^{2}+1}$；
∴$A（k-\sqrt{{k}^{2}+1}，{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）$，B（$k+\sqrt{{k}^{2}+1}，{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-1+（{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）（{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）$=$-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$．
故选C．

点评 考查通过解直线和曲线方程形成的方程组来求出直线和曲线交点的方法，一元二次方程的求根公式，向量坐标和点的坐标的关系，以及数量积的坐标运算．