Question

9．如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，
求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．

解答 解：由题意可得在直角三角形ABF中，
OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，
设A（m，n），则m²+n²=c²，
又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得m=$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$，n=$\frac{{b}^{2}}{c}$，
即有A（$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$，$\frac{{b}^{2}}{c}$），B（-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$，-$\frac{{b}^{2}}{c}$），
又F（c，0），
由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，
可设C（x，y），即有$\frac{y}{x-c}$•$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}+a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}$=-1，
又（c+$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$）²+（$\frac{{b}^{2}}{c}$）²=（x-c）²+y²，
可得x=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{c}$，y=-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}+{c}^{2}}{c}$，
将C（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{c}$，-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}+{c}^{2}}{c}$）代入双曲线方程，可得
$\frac{（{b}^{2}+{c}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{（a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}+{c}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{b}^{2}}$=1，
化简可得$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$（b²-a²）=a³，
由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，
可得（2e²-1）（e²-2）²=1，
对照选项，代入检验可得e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$成立．
另解：设双曲线的另一个焦点为E，
令|BF|=|CF|=|AE|=m，|AF|=n，
由双曲线的定义有，|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a，
在直角三角形EAC中，m²+（m+n）²=（m+2a）²，
代入2a=m-n，化简可得m=3n，
又m-n=2a得n=a，m=3a，
在直角三角形EAF中，m²+n²=（2c）²，
即为9a²+a²=4c²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题．