Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x^2+6}{x}$，a＞1，若不等式log_a+1x-log_ax+5＜f（n）对任意n∈N^*恒成立，则实数x的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由基本不等式求出函数f（x）=$\frac{x^2+6}{x}$在x＞0时的最值，得到f（n）在n∈N^*时的最小值，代入log_a+1x-log_ax+5＜f（n）后求解对数不等式得答案．

解答 解：∵n＞0，f（n）=n+$\frac{6}{n}≥2\sqrt{6}$，
当n=$\sqrt{6}$时取等号，但n∈N^*，故当n=2，3时，n+$\frac{6}{n}=5$，
故$n+\frac{6}{n}≥5$，
则由已知得log_a+1x-log_ax+5＜5，
故log_a+1x＜log_ax，
又a+1＞a＞1，
∴实数x的取值范围是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质，考查了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．