Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知asinC=2csinB，b=2，$cosA=-\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求$cos（2A-\frac{π}{3}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过正弦定理化简asinC=2csinB，推出a、b关系，求出a、b通过余弦定理求出c．
（Ⅱ）在△ABC中，求出A的二倍角的增函数余弦函数值，利用两角差的余弦函数求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由asinC=2csinB
得ac=2cb，∴a=2b，----------------------------（2分）
又b=2，∴a=4，---------------------------（3分）
∵${cosA}=-\frac{1}{4}$∴由a²=b²+c²-2bccosA得$16=4+{c^2}-4c（-\frac{1}{4}）$--------------------（4分）
∴c²+c-12=0，又c＞0，∴c=3---------------------------（5分）
（Ⅱ）在△ABC中，由$cosA=-\frac{1}{4}$得$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$-------------（7分）
∴$sin2A=2sinAcosA=-\frac{{\sqrt{15}}}{8}$---------------------------（9分）
$cos2A={cos^2}A-{sin^2}A=-\frac{7}{8}$---------------------------（11分）∴$cos（2A-\frac{π}{3}）=cos2Acos\frac{π}{3}+sin2Asin\frac{π}{3}$---------------------------（12分）
=$-\frac{7}{8}•\frac{1}{2}+（-\frac{{\sqrt{15}}}{8}）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-\frac{{7+3\sqrt{5}}}{16}$---------------------------（13分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．