Question

13．数列{a_n}的前n项和为S_n，满足$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通过题意易得$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$，递推其关系可得数列{a_n}是公差为1的等差数列，计算即可；
（2）通过（1）可得b_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂项相消法即可得出结论．

解答 解：（1）由已知：对于n∈N^*，总有$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$ （①）   成立，
∴$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}+{a_{n-{1^{\;}}}}^2$（n≥2）（②）
①-②得$2{a_n}={a_n}+{a_n}^2-{a_{n-1}}-{a_{n-1}}^2$，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n，a_n-1均为正数，∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列．
又n=1时，$2{S_1}={a_1}+{a_1}^2$，解得a₁=1，
∴a_n=n．（n∈N^*）；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$1-\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查数列的递推关系，通项公式，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．