Question

12．已知数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{n（n+2）}$，则前n项和S_n=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+4}$．

Answer 1

分析 由数列{a_n}的通项公式an=$\frac{1}{n（n+2）}$，知前n项和S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$．由此利用裂项法能求出其结果．

解答 解：∵数列{a_n}的通项公式an=$\frac{1}{n（n+2）}$，
∴前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n
=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}]$=$\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}]$．
=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+4}$
故答案为：$\frac{3}{4}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+4}$．

点评 本题考查数列的求和，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．