Question

2．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求二面角A-PC-B的余弦值；
（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求$\frac{PD}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （I）作AZ∥BC，建立空间直角坐标系A-xyz．所求值即为平面APC的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值；
（II）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且$\overrightarrow{PD}=λ\overrightarrow{PC}（0≤λ≤1）$，利用$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=0$计算即可．

解答 （I）解：如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，
则AP、AB、AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．
$\overrightarrow{AP}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AM}$=（1，1，0）．
设平面APC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ 2y+z=0.\end{array}\right.$，
令z=-2，则z=-2，∴$\overrightarrow{m}$=（0，1，-2）．
又$\overrightarrow{AM}=（1，1，0）$为平面PBC的法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AM}＞$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵二面角A-PC-B为锐角，
∴二面角A-PC-B的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$；
（II）证明：设D（u，v，w）是线段PC上一点，且$\overrightarrow{PD}=λ\overrightarrow{PC}（0≤λ≤1）$．
即（u-2，v，w）=λ（-2，2，1）．
∴u=2-2λ，v=2λ，w=λ，
∴$\overrightarrow{BD}=（2-2λ，2λ-2，λ）$，
由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=0$，得$λ=\frac{4}{5}$．
∵$\frac{4}{5}∈[0，1]$，
∴在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，
此时$\frac{PD}{PC}=λ=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查二面角，空间中线段之间的大小关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．