Question

12．过点（2，0）引直线l与曲线$y=\sqrt{2-{x^2}}$相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取得最大值时，直线l斜率为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出使△AOB面积取得最大值时原点到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求得直线l斜率．

解答 解：如图，

∵${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|OA||OB|sin∠AOB$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}sin∠AOB≤1$，
当$∠AOB=\frac{π}{2}$时，S_△AOB面积最大．
此时O到AB的距离d=1．
设AB方程为y=k（x-2）（k＜0），
即kx-y-2k=0．
由$d=\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．