Question

7．已知$A=\{x|5-x≥\sqrt{2（x-1）}\}$，B={x|x²-ax≤x-a}，当“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是（3，+∞）．

Answer 1

分析 先解出A={x|1≤x≤3}，将B表示成B={x|（x-1）（x-a）≤0}，而由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件便可得到A?B．为解集合B，需讨论a和1的关系：a≤1时，容易看出不能满足A?B，而a＞1时，求出B={x|1≤x≤a}，从而a应满足a＞3．

解答 解：由5-x$≥\sqrt{2（x-1）}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{5-x≥0}\\{x-1≥0}\\{（5-x）^{2}≥2（x-1）}\end{array}\right.$；
解该不等式组得1≤x≤3；
∴A={x|1≤x≤3}，B={x|（x-1）（x-a）≤0}；
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；
∴A?B；
①若a≤1，显然不满足A?B；
②若a＞1，则B={x|1≤x≤a}；
∵A?B；
∴a＞3；
∴a的取值范围是（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．

点评 考查解无理不等式的方法：去根号，描述法表示集合，一元二次不等式的解法，以及真子集的概念，充分不必要条件的概念．