Question

18．如图：在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC=AB=$\frac{1}{2}$DE=1，∠DAC=90°，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）取CE的中点M，连结MF，MB，证明四边形ABMF是平行四边形得到AF∥BM，利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥平面BCE．
（2）证明AF⊥平面CDE，推出BM⊥平面CDE，通过平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE⊥平面CDE．
（3）作DH⊥CE于H，则DH⊥平面CBE．求出AF，棱锥的底面面积，然后求解体积．

解答  解：（1）证明：取CE的中点M，连结MF，MB，
∵F是CD的中点
∴MF∥DE且MF=$\frac{1}{2}$DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴AB∥DE，MF∥AB
∵AB=$\frac{1}{2}$DE∴MF=AB
∴四边形ABMF是平行四边形
AF∥BM，AF?平面BCE，BM⊆平面BCE
∴AF∥平面BCE…（4分）
（2）证明：∵AC=AD
∴AF⊥CD，又∵DE⊥平面ACD AF⊆平面ACD∴AF⊥DE，又CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又∵BM∥AF，∴BM⊥平面CDE
∵BM?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE…（8分）
（3）作DH⊥CE于H，则DH⊥平面CBE
由已知得：$CD=\sqrt{2}，DE=2，CE=\sqrt{6}，AF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
在Rt△CDE中，$DH=\frac{CD•DE}{CE}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}CE•BM=\frac{1}{2}CE•AF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴${V_{D-CBE}}=\frac{1}{3}{S_{△CBE}}•DH=\frac{1}{3}$…（13分）

点评 本题考查空间几何体的体积，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系的判断与证明，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．