Question

13．已知函数f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx（a＞0）．若函数f（x）在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是（0，$\frac{2}{5}$]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由函数f（x）在[1，2]上为单调函数，得到x∈[1，2]时，f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$≥0恒成立，或f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$≤0恒成立，分离参数a后引入新的辅助函数h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，由单调性求得其在[1，2]上的最值得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx，得f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$，
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
∴x∈[1，2]时，f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$≥0恒成立，或f′（x）=$\frac{3}{a}-4x+\frac{1}{x}$≤0恒成立，
即$\frac{3}{a}≥4x-\frac{1}{x}$对x∈[1，2]恒成立，或$\frac{3}{a}≤4x-\frac{1}{x}$对x∈[1，2]恒成立．
设h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，
∵函数h（x）在[1，2]上单调递增，
∴$\frac{3}{a}≥$h（2）=4×2-$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$①，或$\frac{3}{a}≤h（1）=4×1-1=3$②．
解①得，0＜a≤$\frac{2}{5}$，解②得，a≥1．
∴a的取值范围是（0，$\frac{2}{5}$]∪[1，+∞）．
故答案为：（0，$\frac{2}{5}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查导数的几何意义和导数的综合应用：求单调区间，考查了数学转化思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．