Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，且椭圆C的短轴的一个端点与左、右焦点F₁、F₂构成等边三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设M为椭圆上C上任意一点，求$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的最大值与最小值；
（3）试问在x轴上是否存在一点B，使得对于椭圆上任意一点P，P到B的距离与P到直线x=4的距离之比为定值．若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的焦距为2，且椭圆C的短轴的一个端点与左、右焦点F₁、F₂构成等边三角形．求出椭圆的几何量，然后求解标准方程．
（2）通过椭圆的焦点坐标，设M（x，y），得到$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的表达式，利用二次函数的最值，求解表达式的最值．
（3）假设存在点B（m，0），设P（x，y），P到B的距离与P到直线x=4的距离之比为定值λ，推出关系式，令$F（x）=（{\frac{1}{4}-{λ^2}}）{x^2}+（8{λ^2}-2m）x+{m^2}+3-16{λ^2}$，由F（0）=0，F（2）=0，F（-2）=0，求解即可．

解答 （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（6分），第3小题满分（6分）．
（1）已知，c=1，a=2c=2，…（2分）
所以b²=a²-c²=3，…（3分）
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．   …（4分）
（2）F₁（-1，0），F₂（1，0），设M（x，y），则$\overrightarrow{M{F_1}}=（-1-x\;，\;-y）$，$\overrightarrow{M{F_2}}=（1-x\;，\;-y）$，$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}={x^2}+{y^2}-1$（-2≤x≤2），…（2分）
因为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，所以，$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}={x^2}+{y^2}-1={x^2}+3（{1-\frac{x^2}{4}}）=\frac{1}{4}{x^2}+2$，…（4分）
由0≤x²≤4，得$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的最大值为3，最小值为2． …（6分）
（3）假设存在点B（m，0），设P（x，y），P到B的距离与P到直线x=4的距离之比为定值λ，则有$\frac{{\sqrt{{{（x-m）}^2}+{y^2}}}}{|x-4|}=λ$，…（1分）
整理得x²+y²-2mx+m²=λ²（x-4）²，…（2分）
由$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得$（{\frac{1}{4}-{λ^2}}）{x^2}+（8{λ^2}-2m）x+{m^2}+3-16{λ^2}=0$对任意的x∈[-2，2]都成立．          …（3分）
令$F（x）=（{\frac{1}{4}-{λ^2}}）{x^2}+（8{λ^2}-2m）x+{m^2}+3-16{λ^2}$，
则由F（0）=0得m²+3-16λ²=0①
由F（2）=0得m²-4m+4-4λ²=0②
由F（-2）=0，得m²+4m+4-36λ²=0③
由①②③解得得$λ=\frac{1}{2}$，m=1．               …（5分）
所以，存在满足条件的点B，B的坐标为（1，0）．   …（6分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的恒成立，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．