Question

3．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$（\sqrt{2}，1）$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（3，2）的直线与椭圆C相交于两不同点A、B，且$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{BM}$．在线段AB上取点N，若$\overrightarrow{AN}=-λ\overrightarrow{BN}$，证明：动点N在定直线上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出方程组，解得a²=4，b²=2，即可求出椭圆方程．
（Ⅱ）设点N，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．利用$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{BM}$．$\overrightarrow{AN}=-λ\overrightarrow{BN}$，列出方程，化简整理得到 4（1-λ²）=（3x+4y）（1-λ²），判断点N在定直线3x+4y-4=0上．

解答 解：（Ⅰ）由题意：$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\\ \\{c^2}={a^2}+{b^2}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2，
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题意得，记（3-x₁，2-y₁）=λ（3-x₂，2-y₂），（x-x₁，y-y₁）=-λ（x-x₂，y-y₂），于是有
x₁-λx₂=3（1-λ）①
y₁-λy₂=2（1-λ）②
x₁+λx₂=x（1+λ）③
y₁+λy₂=y（1+λ）④
①×③得   ${x_1}^2-λ{x_2}^2=3x（1-{λ^2}）$⑤
②×④得   ${y_1}^2-λ{y_2}^2=2y（1-{λ^2}）$⑥
由点A，B在椭圆C上，得$x_1^2+2y_1^2=4$，$x_2^2+2y_2^2=4$，
⑤+2×⑥得   4（1-λ²）=（3x+4y）（1-λ²）
由题意知λ＞0且λ≠1，所以3x+4y=4，
故点N在定直线3x+4y-4=0上．…（13分）

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆方程的求法，圆锥曲线与向量相结合的应用，考查分析问题解决问题的能力．