Question

12．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，短轴的端点是B₁，B₂，点M（2，0）是x轴上的一定点，且MB₁⊥MB₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M且斜率存在且不为0的直线交椭圆于A、B两点，试问x轴上是否存在定点P，使直线PA与PB的斜率互为相反数？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆方程，运用离心率公式和垂直的条件：斜率之积为-1，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过点M且斜率存在且不为0的直线为y=k（x-2），代入椭圆方程，运用韦达定理，再假设x轴上存在定点P，使直线PA与PB的斜率互为相反数，运用斜率公式和点在直线上，化简整理，即可得到定点P．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
依题意可得，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{b}{-2}$•$\frac{b}{2}$=-1，
又a²-b²=c²，
解得a=3，b=2．
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设过点M且斜率存在且不为0的直线为y=k（x-2），
代入椭圆方程，可得（4+9k²）x²-36k²x+36k²-36=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{36{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{36{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
假设x轴上存在定点P（m，0），使直线PA与PB的斜率互为相反数．
即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
化简可得（m+2）（x₁+x₂）-4m=2x₁x₂，
即有（m+2）•$\frac{36{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$-4m=2•$\frac{36{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
可得m=$\frac{9}{2}$．
则有x轴上存在定点P（$\frac{9}{2}$，0），使直线PA与PB的斜率互为相反数．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．