Question

2．设F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，若|AB|=12，则p=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦长公式表示出AB的长求得p．

解答 解：由题意可知过焦点的倾斜角为30°直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入y²=2px可得：x²-7px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=7p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（7p）^{2}-4×\frac{{p}^{2}}{4}}$=4$\sqrt{3}$p，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×4$\sqrt{3}$p=12，
解得：p=$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．