Question

7．已知函数f（x）=x（1+a|x|），若关x的小等式f（x+a）＜f（x）的解集A?[-1，$\frac{1}{2}$]，则实数a的取值范围是（1-$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 由题意可得，在[-1，$\frac{1}{2}$]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方，数形结合、分类讨论求得a的范围．

解答 解：函数f（x）=x（1+a|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+x，x≥0}\\{{-ax}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$是奇函数，
关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集 A?[-1，$\frac{1}{2}$]，
则在[-1，$\frac{1}{2}$]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）
的图象的下方．
当a=0时，显然不满足条件．
当a＞0时，如右图所示，函数y=f（x）在R上单调递增，
f（x+a）的图象是把f（x）的图象向左平移a个单位得到的，
不满足在[-1，$\frac{1}{2}$]上，函数y=f（x+a）的图象在
函数y=f（x）的图象下方．
当a＜0时，f（x）在（$\frac{1}{2a}$，-$\frac{1}{2a}$]上增函数，在（-$\frac{1}{2a}$，+∞）、（-∞，$\frac{1}{2a}$）上是减函数，
要使在[-1，$\frac{1}{2}$]上，函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象的下方，
如下图所示：
只要f（-1+a）＜f（-1）即可，即-a${（-\frac{1}{2}+a）}^{2}$+（-$\frac{1}{2}$+a）＜-a${（-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，
化简可得 a²-2a-1＜0，解得 1-$\sqrt{2}$＜a＜0，
故答案为：（1-$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．