Question

16．解关于x的不等式：2x²+ax+2＞0（a∈R）

Answer 1

分析 讨论△＞0，△=0以及△＜0时对应不等式的解集即可．

解答 解：关于x的不等式：2x²+ax+2＞0（a∈R）中，
△=a²-4×2×2=a²-16，
当a＞4或a＜-4时，△＞0，
对应的一元二次方程有两个实数根x=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$和x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$，
且$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$，
∴不等式的解集为{x|x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$或x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$}；
当a=±4时，△=0，
对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=-$\frac{a}{4}$，
∴不等式的解集为{x|x≠-$\frac{a}{4}$}；
当-4＜a＜4时，△＜0，
∴不等式的解集为R；
综上，a＞4或a＜-4时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$或x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$}；
a=±4时，不等式的解集为{x|x≠-$\frac{a}{4}$}；
-4＜a＜4时，不等式的解集为R．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．