Question

4．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB，E，F分别为BC，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过PA⊥平面ABCD得AE⊥PA，根据题意易得△ABC为等边三角形，利用线面垂直的判定定理可得AE⊥平面PAD，进而有AE⊥PD；
（Ⅱ）以A为坐标原点，以AE、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则所求值转化为平面EAF的法向量与平面ACF的法向量的夹角的余弦值的绝对值．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴AE⊥PA，
∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，
又∵E是BD中点，∴AE⊥BC，
由BC∥AD可知AE⊥AD，
又∵PA∩AE=A，∴AE⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD；
（Ⅱ）解：由（I）知AE、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，以AE、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系如图，
设PA=AB=2，则A（0，0，0），E（$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
设平面EAF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{1}=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}+\frac{1}{2}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令z₁=1，可得$\overrightarrow{m}$=（0，-2，1），
设平面ACF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{2}+{y}_{2}=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}+\frac{1}{2}{y}_{2}+{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令y₂=$\sqrt{3}$，可得$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{5}×2}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角E-AF-C的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．