Question

6．双曲线${y^2}-\frac{x^2}{m}=1$的离心率$e=\sqrt{3}$，则以双曲线的两条渐近线与抛物线y²=mx的交点为顶点的三角形的面积为（　　）

• A． $4\sqrt{2}$
• B． $12\sqrt{2}$
• C． $8\sqrt{2}$
• D． $16\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线${y^2}-\frac{x^2}{m}=1$的离心率$e=\sqrt{3}$，求出m的值，可得双曲线的两条渐近线方程，抛物线方程，联立求出交点坐标，即可求出三角形的面积．

解答 解：∵双曲线${y^2}-\frac{x^2}{m}=1$的离心率$e=\sqrt{3}$，
∴$\frac{1+m}{1}$=3，
∴m=2，
∴双曲线的两条渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，抛物线方程为y²=2x，
联立可得交点坐标为（4，±2$\sqrt{2}$），
∴所求三角形的面积为$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．