Question

10．已知函数f（x）=x-mln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，不等式ax²≤f（x）对?x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过解关于导数的不等式，从而得到函数的单调区间；
（2）问题等价于ax²-x+ln（1+x）≤0在[0，1]恒成立，令g（x）=ax²-x+ln（1+x），通过讨论函数g（x）的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{m}{1+x}$=$\frac{x+（1-m）}{1+x}$，
①若m≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）单调递增；
②若m＞0，则f（x）在（-1，m-1）递减，在（m-1，+∞）递增；
（2）f′（1）=$\frac{2-m}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=1，
∴f（x）=x-ln（1+x），
不等式ax²≤f（x）对?x∈[0，1]恒成立，
等价于ax²-x+ln（1+x）≤0在[0，1]恒成立，
令g（x）=ax²-x+ln（1+x），
则g′（x）=$\frac{x（2ax+2a-1）}{1+x}$，
①a≥$\frac{1}{2}$时，g′（x）≥0在[0，1]恒成立，
∴g（x）_max=g（1）=a-1+ln2≤0，解得：a≤1-ln2＜0，不合题意，舍；
②$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，g（x）在[0，$\frac{1}{2a}$-1）递减，在（$\frac{1}{2a}$-1，1]递增，
∴g（x）_max=g（0）或g（1），
而g（0）=0，g（1）=a-1+ln2≤0，解得：$\frac{1}{4}$≤a≤1-ln2；
③a＜$\frac{1}{4}$时，g（x）在[0，1]递减，
g（x）_max=g（0）=0，符合题意，
综上：a≤1-ln2．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，本题有一定的难度．