Question

20．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？

Answer 1

分析 先利用平面中的知识求出∠ABC=180°-45°-15°=120°．再利用余弦定理AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosα，求出对应的时间，根据正弦定理，可得结论．．

解答 解：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇．
在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5，
设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°-45°-15°=120°                          （2分）
根据余弦定理AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosα，
（14t）²=$\frac{81}{4}$+（10t）²-2×4.5×10t×（-$\frac{1}{2}$），（4分）
128t²-60t-27=0，（4t-3）（32t+9）=0，解得t=$\frac{3}{4}$，t=$-\frac{9}{32}$（舍）             （6分）
∴AC=14×$\frac{3}{4}$=$\frac{21}{2}$，BC=10×$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{2}$，（8分）
根据正弦定理，得$sinβ=\frac{BCsinα}{AC}=\frac{{15×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{21}=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，（10分）
又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，（11分）
又$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$＜$\frac{{7\sqrt{2}}}{14}$＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴arcsin$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$＜$\frac{π}{4}$，
甲船沿南偏东$\frac{π}{4}$-arcsin$\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$的方向，用$\frac{3}{4}$小时可以追上乙船．                  （13分）

点评 本题主要考查解三角形的实际应用．解决这一类型题目的关键是把文字语言转化为数学符号，用数学公式，定理，公理等知识来解．