Question

5．已知M是x²=8y的对称轴与准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PM|=m|PN|，当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为4（$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义，结合|PM|=m|PN|，可得$\frac{1}{m}$=$\frac{|PB|}{|PM|}$，设PM的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．

解答 解：过P作准线的垂线，垂足为B，则
由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PM|=m|PN|，
∴|PM|=m|PB|
∴$\frac{1}{m}$=$\frac{|PB|}{|PM|}$，
设PM的倾斜角为α，则sinα=$\frac{1}{m}$，
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，
设直线PM的方程为y=kx-2，代入x²=8y，可得x²=8（kx-2），
即x²-8kx+16=0，
∴△=64k²-64=0，
∴k=±1，
∴P（4，2），
∴双曲线的实轴长为PM-PN=$\sqrt{{4}^{2}+（2+2）^{2}}$-4=4（$\sqrt{2}$-1）．
故答案为：4（$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，是解题的关键．