Question

13．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，F₁（-2，0）、F₂（2，0）为其两个焦点，点M是双曲线上一点，且∠F₁MF₂=60°，则△F₁MF₂的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出c，a，再设出|MF₁|=m，|MF₂|=n，利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式，求出mn的值，最后求解三角形的面积．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，F₁（-2，0）、F₂（2，0）为其两个焦点，
∴c=2，a=$\sqrt{3}$，
设|MF₁|=m，|MF₂|=n，
∵点M是双曲线上一点，且∠F₁MF₂=60°，
∴|m-n|=2$\sqrt{3}$①，m²+n²-2mncos60°=16②，
由②-①²得mn=4
∴△F₁MF₂的面积S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题考查双曲线的简单性质，双曲线的定义以及余弦定理的应用，考查计算能力．