Question

3．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），b=-2f（-2），c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$），则a、b、c的大小关系是（　　）

• A． a＜b＜C
• B． b＜c＜a
• C． c＜a＜b
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．
当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，
当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．

解答 解：∵定义域为R的奇函数y=f（x），
∴F（x）=xf（x）为R上的偶函数，
F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．
∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，
当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，
即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
F（$\frac{1}{2}$）=a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=F（ln$\sqrt{e}$），F（-2）=b=-2f（-2）=F（2），F（ln$\frac{1}{2}$）=c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$）=F（ln2），
∵ln$\sqrt{e}$＜ln2＜2，
∴F（ln$\sqrt{e}$）＜F（ln2）＜F（2）．
即a＜c＜b
故选：D

点评 本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．