Question

18．已知向量$\overrightarrow m=（sin（ωx+\frac{π}{3}），-1），\overrightarrow n=（\sqrt{3}，cos（ωx+\frac{π}{3}））（ω＞0）$，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值，并求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间；
（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=1，cosC=$\frac{3}{5}$，a=5$\sqrt{3}$，求b．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），而f（x）图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为其周期的四分之一，这样即可求得ω=2，从而f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），写出f（x）的单调增区间，然后再找出[0，π]上的单调递增区间即可；
（2）由f（A）=1，能够求出A=$\frac{π}{3}$，由cosC=$\frac{3}{5}$求出sinC，而由sinB=sin（$\frac{π}{3}+C$）即可求出sinB，而由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即可求出b．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）-cos（ωx+\frac{π}{3}）=2sin（ωx+\frac{π}{6}）$；
由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，所以$T=\frac{2π}{ω}=4•\frac{π}{4}=π，ω=2$；
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z；
又x∈[0，π]，所以所求单调增区间为$[0，\frac{π}{6}]，[\frac{2π}{3}，π]$；
（2）$f（A）=2sin（2A+\frac{π}{6}）=1，sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}，2A+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2kπ+\frac{5π}{6}$；
∴A=kπ或$kπ+\frac{π}{3}$，（k∈Z），又A∈（0，π）；
故$A=\frac{π}{3}$；
∵$cosC=\frac{3}{5}，C∈（0，π）$；
∴$sinC=\frac{4}{5}，sinB=sin（A+C）=sin（\frac{π}{3}+C）=\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$；
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$；
∴$b=\frac{\frac{3\sqrt{3}+4}{10}•5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=3\sqrt{3}+4$．

点评 考查求函数Asin（ωx+φ）的周期的公式，并且知道该函数的对称轴与对称中心，以及能写出该函数的单调区间，数量积的坐标运算，已知三角函数值求角，两角和的正弦公式，正弦定理．