Question

13．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
（I）证明数列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差数列；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}$S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n；．求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a_n用S_n-S_n-1代换，经过化简整理可得{$\frac{n+1}{n}$S_n}为等差数列，从而求出S_n；
（Ⅱ）由等差数列的通项公式求出S_n，代入S_n可求出数列{b_n} 的通项b_n，再由裂项相消求和计算即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）S_n=n²a_n-2n（n-1）=n²（S_n-S_n-1）-2n（n-1）（n≥2），
∴（n²-1）S_n-n²S_n-1=2n（n-1）（n≥2），
∴$\frac{n+1}{n}$S_n-$\frac{n}{n-1}$S_n-1=2（n≥2），
∴{$\frac{n+1}{n}$S_n}是首项为1，2为公差的等差数列；
（Ⅱ）由$\frac{n+1}{n}$S_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{2{n}^{2}-n}{n+1}$（n∈N^*），
∴b_n=$\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}$S_n=$\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}$•$\frac{n（2n-1）}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查等差数列的定义和通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，同时考查数列的求和方法：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．