Question

3．已知函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+a{cos^2}$x+b，x∈R，且$f（0）=f（\frac{π}{4}）=1$．
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{4}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用函数f（0）=f（$\frac{π}{4}$）=1，建立方程组求出a和b的值，进一步听过三角函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的最小正周期．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+aco{s}^{2}$x+b
由于：f（0）=f（$\frac{π}{4}$）=1，
所以：$\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+a+b=1\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a+b=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\right.$
所以：$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+$2cos²x-1
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
所以：函数的最小正周期：T=$\frac{2π}{2}=π$，
（Ⅱ）由于：函数f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
当$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$时，$-\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$．
所以：$-1≤\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$
即：函数的最大值为$\sqrt{2}$，函数的最小值为-1．

点评 本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的确定，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．