Question

14．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上$\widehat{AC}$上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．
（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+$\sqrt{3}$，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r=2+$\sqrt{3}$，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．

解答 （1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线DF平分∠CDE．…（5分）
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，
由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，
设圆半径为r，则r+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r=2+$\sqrt{3}$，得r=2，外接圆的面积为4π．…（10分）

点评 本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．