Question

19．在平面直角坐标系xOy中，曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+$\frac{π}{2}$．
（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；
（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用中点坐标公式，即可求AB中点M的轨迹的普通方程；
（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可．

解答 解：（1）设AB中点M（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{acosα-asinα}{2}}\\{y=\frac{bsinα+bcosα}{2}}\end{array}\right.$，
可得（$\frac{x}{a}$）²+（$\frac{y}{b}$）²=$\frac{1-2sinαcosα}{4}$+$\frac{1+2sinαcosα}{4}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{2{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{2y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a≤x≤$\frac{1}{2}$a）；
（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，
所以有$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{{ρ}^{2}si{n}^{2}θ}{{b}^{2}}=1$，
所以ρ²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}co{s}^{2}θ+{a}^{2}si{n}^{2}θ}$，
设A（ρ₁，α），B（ρ₂，$α+\frac{π}{2}$），则|AB|=$\sqrt{{{ρ}_{1}}^{2}+{{ρ}_{2}}^{2}}$，
∴点O到AB直线的距离为$\frac{{ρ}_{1}{ρ}_{2}}{\sqrt{{{ρ}_{1}}^{2}+{{ρ}_{2}}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∴点O到AB直线的距离为定值$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．

点评 本题重点考查了参数方程、距离公式，考查极坐标系等知识，属于中档题．