Question

3．设函数f（x）=|x+1|
（I）若f（x）+f（x-6）≥m²+m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围
（Ⅱ）当-1≤x≤4，求$\sqrt{f（x）}+\sqrt{f（{2x-9}）}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）+f（x-6）的最小值，再由不等式恒成立思想，解二次不等式，即可得到m的范围；
（Ⅱ）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可求得最大值．

解答 解：（I）f（x）+f（x-6）=|x+1|+|x-5|≥|（x+1）-（x-5）|=6，
当且仅当-1≤x≤5时，等号成立．
由恒成立思想可得，m²+m≤6，解得-3≤m≤2，
则实数m的取值范围是[-3，2]；
（Ⅱ）当-1≤x≤4，$\sqrt{f（x）}+\sqrt{f（{2x-9}）}$=$\sqrt{|x+1|}$+$\sqrt{|2x-8|}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2}$•$\sqrt{4-x}$，
由柯西不等式可得（$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2}$•$\sqrt{4-x}$）²≤（1²+（$\sqrt{2}$）²）（（$\sqrt{x+1}$）²+（$\sqrt{4-x}$）²）
=15，当且仅当$\frac{\sqrt{x+1}}{1}$=$\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{2}}$即x=$\frac{2}{3}$时，等号成立．
故当x=$\frac{2}{3}$时，$\sqrt{f（x）}+\sqrt{f（{2x-9}）}$的最大值为$\sqrt{15}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立思想，同时考查柯西不等式的运用，属于中档题．