Question

8．已知函数f（x）满足f（x）=2f（$\frac{1}{x}$），当x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在区间[$\frac{1}{3}$，3]内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由题意化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$；从而作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$与y=ax在区间[$\frac{1}{3}$，3]内的图象，结合图象求解．

解答 解：由题意知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$；
∵在区间[$\frac{1}{3}$，3]内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同的交点，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$与y=ax在区间[$\frac{1}{3}$，3]内有三个不同的交点，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$与y=ax在区间[$\frac{1}{3}$，3]内的图象如下，

结合图象可知，
当直线y=ax与f（x）=lnx相切时，
$\frac{lnx}{x}$=$\frac{1}{x}$，
解得，x=e；此时a=$\frac{1}{e}$；
当直线y=ax过点（3，ln3）时，
a=$\frac{ln3}{3}$；
故$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$；
故答案为：[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于基础题．