Question

16．已知在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的n∈N^*，恒有2ⁿ⁺¹a_n=2ⁿa_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n+1，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论当a_n=0时不成立，再由等比数列的定义和通项公式，计算即可得到；
（Ⅱ）运用对数的性质，求得b_n=n，再由裂项相消求和计算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）由对任意的n∈N^*，恒有2ⁿ⁺¹a_n=2ⁿa_n+1．
当a_n=0则a_n+1=0，与a₁=1矛盾，
即有a_n≠0，
则a_n+1=2a_n，
即数列{a_n}为首项为1，公比为2的等比数列，
则a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n+1=n-1+1=n，
即有$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的通项的求法，注意运用定义，同时考查数量的求和方法：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．