Question

20．△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；
（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；
（Ⅱ）若cosA=sin（B-C），求角C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得sinA=sinCcosB，整理可得sinBcosC=0，结合B为内角，可求cosC=0，即可求得C的值．
（Ⅱ）由cosA=sin（B-C）利用三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式化简可得（sinB+cosB）（sinC-cosC）=0，结合b＜c，由（sinB+cosB）≠0，可解得sinC-cosC=0，即可求得C的值．

解答 解：（Ⅰ）由a=c•cosB及正弦定理，可得sinA=sinCcosB，
既有：sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，
故：sinBcosC=0，
而在△ABC中，sinB≠0，所以cosC=0，既得C=90°．…6分
（Ⅱ）由cosA=sin（B-C）得-cos（B+C）=sinBcosC-cosBsinC，
即有：sinBsinC-cosBcosC=sinBcosC-cosBsinC，
从而：（sinB+cosB）（sinC-cosC）=0，
又因为b＜c，所以B＜C，
所以（sinB+cosB）≠0，
既有sinC-cosC=0，
故解得：C=45°．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．