Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0的左、右焦点分别为F₁、F₂，以F₁F₂为直径的圆被直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1截得的弦长为$\sqrt{6}$a，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出圆心到直线的距离，利用以F₁F₂为直径的圆被直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1截得的弦长为$\sqrt{6}$a，求出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，圆心到直线的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$=$\frac{ab}{c}$，
∵以F₁F₂为直径的圆被直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1截得的弦长为$\sqrt{6}$a，
∴2$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{6}$a，
∴2（c⁴-a²b²）=3a²c²，
∴2c⁴-2a²（c²-a²）=3a²c²，
∴2e⁴-5e²+2=0，
∵e＞1，
∴e=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 熟练掌握双曲线的性质和圆中弦长的计算、离心率计算公式是解题的关键．