Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_n•2^n-1，设A_n=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{{b}_{4}}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求A_n．

Answer 1

分析 （1）利用条件，再写一式，两式相减，可得a_n+1-a_n-1=2（n≥2），所以a₂，a₄，a₆，…a_2n是首项为a₂，公差为2的等差数列；a₁，a₃，…a_2n-1是首项为a₁，公差为2的等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求得$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=2[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，再求A_n．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，（n∈N^*），
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1a_n．
∴a_n=$\frac{1}{2}$a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2（n≥2）．
∴a₂，a₄，a₆，…a_2n是首项为a₂，公差为2的等差数列；a₁，a₃，…a_2n-1是首项为a₁，公差为2的等差数列．
又a₁=1，S₁=$\frac{1}{2}$a₁a₂，可得a₂=2．
∴a_2n=2n，a_2n-1=2n-1（n∈N^*）．
∴所求数列的通项公式为：a_n=n．
（2）b_n=a_n•2^n-1=n•2^n-1，
∴$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=2[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，
∴A_n=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{{b}_{4}}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=2[$\frac{1}{1•2}-\frac{1}{2•{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•{2}^{2}}-\frac{1}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]
=2[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，正确裂项是关键．