Question

20．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a、b、c∈R且a＞0，b＞0）为奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，且f（x）的递增区间是[$\frac{1}{2}$，+∞），试求a、b、c的值．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x），
即$\frac{a{x}^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$，
即-bx+c=-bc-c，
则c=-c，解得c=0，
则f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$=$\frac{a}{b}$x+$\frac{1}{bx}$$≥2\sqrt{\frac{ax}{b}•\frac{1}{bx}}=2\frac{\sqrt{a}}{b}$，即最小值为$\frac{2\sqrt{a}}{b}=2$，
则b=$\sqrt{a}$，
函数的导数f′（x）=$\frac{a}{b}$-$\frac{1}{b{x}^{2}}$，
由f′（x）≥0得$\frac{a}{b}$-$\frac{1}{b{x}^{2}}$≥0，
即x²≥$\frac{1}{a}$，即x≥$\sqrt{\frac{1}{a}}$，即函数的递增求解为[$\sqrt{\frac{1}{a}}$，+∞），
∵f（x）的递增区间是[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴$\sqrt{\frac{1}{a}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=4，则b=$\sqrt{4}$=2，即a=4，b=2，c=0．

点评 本题主要考查分式函数的性质，根据函数的奇偶性和单调性以及基本不等式的性质是解决本题的关键．