Question

17．若点P（x，y）在曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，θ∈R），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若射线θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）与曲线C相交于A、B两点，求|OA|+|OB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为（x-2）²+y²=3，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosα}\\{y=ρsinα}\end{array}\right.$代入即可化为极坐标方程．
（2）射线θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）的直角坐标方程为y=x（x≥0），参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0）．代入圆C的直角坐标方程为：${t}^{2}-2\sqrt{2}t+1$=0，利用|OA|+|OB|=|t₁+t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
化为（x-2）²+y²=3，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosα}\\{y=ρsinα}\end{array}\right.$代入化为极坐标方程：ρ²-4ρcosα+1=0．
（2）射线θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）的直角坐标方程为y=x（x≥0），参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≥0）．
代入圆C的直角坐标方程为：${t}^{2}-2\sqrt{2}t+1$=0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$．
∴|OA|+|OB|=|t₁+t₂|=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角方程的互化、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．