Question

2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y²=4cx的准线被双曲线截得的弦长是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$be²（e为双曲线的离心率），则e的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2}{3}$或3
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 抛物线y²=4cx的准线：x=-c，它正好经过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点，准线被双曲线C截得的弦长为：$\frac{2{b}^{2}}{a}$，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$be²，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．

解答 解：∵抛物线y²=4cx的准线：x=-c，它正好经过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点，
∴准线被双曲线C截得的弦长为：$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$be²，
即：$\sqrt{2}$c²=3ab，
∴2c⁴=9a²（c²-a²），
∴2e⁴-9e²+9=0
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\sqrt{3}$，
又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系．由圆锥曲线的方程求焦点、离心率、双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意双曲线与椭圆的区别．