Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=3$\sqrt{2}$，AA₁=2，点P、Q分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求三棱锥Q-A₁BC的体积．

Answer 1

分析 （I）连接AC₁，与A₁C相交于点G，则G为A₁C的中点，连接PG，C₁G，利用三角形的周期性定理及其矩形的性质可得$PG\underset{∥}{=}Q{C}_{1}$，得到四边形PGC₁Q是平行四边形，可得PQ∥C₁G，利用线面平行的判定定理可得：PQ∥平面A₁ACC₁．
（II）A₁B₁=A₁C₁，Q为B₁C₁的中点，可得A₁Q⊥B₁C₁，再由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得A₁Q⊥平面B₁BCC₁，即A₁Q是三棱锥A₁-BQC的高 利用${V}_{Q-{A}_{1}BC}$=${V}_{{A}_{1}-BCQ}$=$\frac{1}{3}•{A}_{1}Q•{S}_{△BCQ}$即可得出．

解答 （I）证明：连接AC₁，与A₁C相交于点G，则G为A₁C的中点，连接PG，C₁G，
又∵A₁P=PB，
∴PG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，又$Q{C}_{1}\underset{∥}{=}\frac{1}{2}BC$，
∴$PG\underset{∥}{=}Q{C}_{1}$，
∴四边形PGC₁Q是平行四边形，
∴PQ∥C₁G，
又PQ?平面平面A₁ACC₁，C₁G?平面A₁ACC₁，
∴PQ∥平面A₁ACC₁．
（II）解：∵A₁B₁=A₁C₁，Q为B₁C₁的中点，
∴A₁Q⊥B₁C₁，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得A₁Q⊥C₁C，B₁C₁∩C₁C=C₁，
∴A₁Q⊥平面B₁BCC₁，
∴A₁Q是三棱锥A₁-BQC的高．
∵∠BAC=90°，AB=AC=3$\sqrt{2}$，
∴$BC=3\sqrt{2}×\sqrt{2}$=6，
∴${A}_{1}Q=\frac{3\sqrt{2}×3\sqrt{2}}{6}$=3．
又S_△BCQ=$\frac{1}{2}×6×2$=6．
∴${V}_{Q-{A}_{1}BC}$=${V}_{{A}_{1}-BCQ}$=$\frac{1}{3}•{A}_{1}Q•{S}_{△BCQ}$=$\frac{1}{3}×3×6$=6．

点评 本题考查了直棱柱的性质、平行四边形与矩形的性质、线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．