Question

17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t为参数）以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标，曲线C的极轴方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（Ⅱ）将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C₁，求曲线C₁上的到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把曲线的极坐标方程转换为直角坐标方程，把直线的参数方程转换为直角坐标方程，
（Ⅱ）利用得到的方程进一步把方程进行变换，进一步把方程转化为参数方程，最后利用点到直线的距离求出最值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极轴方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x²+y²=4x，
进一步转化为标准形式为：（x-2）²+y²=4．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t为参数），
转化为直角坐标方程为：x-y-$\sqrt{5}$=0．
（Ⅱ）曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），
得到：（2x-2）²+y²=4，
即：${（x-1）}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C₁，
则方程为：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
转化为参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
设点P（cosθ，2sinθ），
则点P到直线l的距离为：d=$\frac{|cosθ-2sinθ+\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ-∅）+\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}≤\sqrt{10}$
所以点P到直线l的最大值为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，方程的变换和平移问题，点到直线的距离的应用，三角函数的最值问题，主要考查学生的应用能力．