Question

9．如图，已知MA为⊙O的切线，A为切点，△ABC是⊙O的内接三角形，MB交AC于D，交⊙O于E，若MA=MD，∠ABC=60°，ME=1，MB=9，则DC=4．

Answer 1

分析 利用切割线定理结合题中所给数据，得MA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到AD=MD=MA=3，最后由相交弦定理可得BD•DE=AD•CD，从而求出CD的长．

解答 解：∵MA是圆O的切线，
∴MA²=ME•MB=9，可得MA=3，
∵∠MAC是弦切角，夹弧AEC，
∴∠MAC=∠ABC=60°，
∵△MAD中，MA=MD，
∴△MAD是正三角形，可得AD=MD=MA=3，
∴BD=MB-MD=6，ME=MD-ED=2，
∵圆O中，弦AC、BE相交于D，
∴BD•DE=AD•CD，可得6×2=3CD，
∴CD=4，
故答案为：4．

点评 本题在圆中给出切线，并且以切线长为一边作正三角形的情况下，求线段的长度．着重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识，属于中档题．