Question

4．如图，四棱锥层-ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CD∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED．且AB=4，BC=CD=EA=ED=2
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？如果存在点F，t请指出点F的位置；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可求BD，AD的值，由勾股定理可证BD⊥AD，又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，即可证明BD⊥平面ADE．
（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，设平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0\\-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0\end{array}\right.$求得$\overrightarrow{n}$，设直线BE与平面CDE所成的角为α，即可求sinα=|cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{n}$＞|的值．
（3）设$\overrightarrow{CF}=λ\overrightarrow{CE}$，λ∈[0，1]，得$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DC}+λ\overrightarrow{CE}$=$\sqrt{2}$（2λ-1，-λ+1，λ），设平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}y=0}\\{（2λ-1）x+（-λ+1）y+λz=0}\end{array}\right.$可求$\overrightarrow{m}$，由平面CDE的法向量$\overrightarrow n=（1，1，-1）$，且平面BDF⊥平面CDE，可得$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$解得$λ=\frac{1}{3}∈[0，1]$，从而得解．

解答 解：（1）$由BC⊥CD，BC=CD=2，可得BD=2\sqrt{2}，由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得AD=2\sqrt{2}$，
又AB=4，所以BD⊥AD，
又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，
BD?平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（4分）
（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，则有：D（0，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0\\-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0\end{array}\right.∴\overrightarrow n=（1，1，-1）$，
设直线BE与平面CDE所成的角为α，得：
sinα=|cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
即直线BE与平面CDE所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$…（8分）
（3）设$\overrightarrow{CF}=λ\overrightarrow{CE}$，λ∈[0，1]，得$\overrightarrow{DC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CE}$=（2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），
所以$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DC}+λ\overrightarrow{CE}$=$\sqrt{2}$（2λ-1，-λ+1，λ），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}y=0}\\{（2λ-1）x+（-λ+1）y+λz=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{m}=（1，0，\frac{1-2λ}{λ}）$，…（10分）
因为平面CDE的法向量$\overrightarrow n=（1，1，-1）$，
且平面BDF⊥平面CDE，
所以$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，
所以$λ=\frac{1}{3}∈[0，1]$，
故在线段CE上存在一点F（靠近C点处的三等分点处），
使得平面BDF⊥平面CDE．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力和推论论证能力及转化思想，属于中档题．